图书馆大厅,穹顶上悬着一张金色的知识星图
Maltt 推开大门走进大厅
导导,导数,手持发光直尺

高数大冒险

第一章 · 函数与极限

按住大门,推开它

Maltt · 领航者

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第一章 · 函数与极限
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第一章 · 函数与极限CHAPTER 1 — FUNCTIONS & LIMITS
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你
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Maltt · 同行
第一章 · 函数与极限
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Maltt:九位老师都在图上了。先从哪条线开始?我看……就那条亮着的。

拖动平移 · 滚轮 / 双指缩放 · 点节点看人物卡
洛必达 · 课堂L'HÔPITAL — THE LESSON
♥ 好感 0 熟练 0 段位 青铜
第 1 节 / 共 3 节
洛必达立绘
未收录
招式卡

洛必达法则

招式卡 · 未定式现形术
limx→cf(x)g(x) = limx→cf′(x)g′(x)
1
先验型:0/0 或 ∞/∞代入后分子分母同趋于 0,或同趋于无穷——不是未定式,不许用。
2
可导,且分母导数 ≠ 0在去心邻域内 f、g 可导,g′(x) ≠ 0——导数是这招的根基。
3
导后的极限存在(或为 ∞)求完导极限不存在,法则到此为止,不许硬套。

分子分母分别求导——不是给商求导。

洛必达讲义卡

本课讲义 · 已存入学习台「讲义」页签,随时翻看
limx→cf(x)g(x) = limx→cf′(x)g′(x)

使用条件

  • 型对:分子分母同趋于 0(0/0 型)或同趋于 ∞(∞/∞ 型)
  • 可导:去心邻域内 f、g 可导,且 g′(x) ≠ 0
  • 导后极限存在(或为 ∞),法则的等号才成立

易错点

  • 不是未定式,别用——直接代入能算的,绕远路只会算错
  • 导数比无极限,别下结论——法则失效 ≠ 原极限不存在
  • 加减结构小心——法则管的是整个分子、整个分母,不是逐项求导
  • 0 · ∞、∞ − ∞ 先变形:化分式、通分,再验型

「未定式见了本侯爵,没有不现形的。」

对话练习 · 洛必达

本地原型:三道已核验的题。他只追问、只给提示——最后的答案,必须你自己报出来。卡住了别往答案框里打字:用下面的「问洛必达」提问,提问不算作答、不扣机会。

课后演算台

课后自由练习——亲手做完三步,法则才算长在手上
① 圈型 · 判断 ② 排序 · 步骤 ③ 手填 · 答案

黑板上有三个式子。用手指(或鼠标)画一个圈,圈出那个能直接请洛必达出手的 0/0 型。

(1 + x)1x
x → 0 时:底数 → 1,指数 → ∞
sin xx
x → 0 时:分子 → 0,分母 → 0
xx + 1
x → 0 时:分子 → 0,分母 → 1
在式子上方画圈,松手即判定。

把三张步骤卡拖进框里,排成洛必达出手的正确顺序。(点已放入的卡可退回)

1把步骤卡拖到这里
2把步骤卡拖到这里
3把步骤卡拖到这里

最后一步亲手收尾:求完导,代入 x = 0。

洛必达课堂 · 结课

三节学完,演算台也练过了——法则到手
♥ 洛必达好感度0
洛必达法则 · 熟练度0
招式卡「洛必达法则」已收录 ✓
讲义卡已存入学习台 ✓
极限守卫 第一章 · 首战
雾体 100
🛡 护盾:0/0 未定式之盾
一 · 破盾 二 · 接招 三 · 合体技
看清盾的型,再派人
沉着
洛必达好感 0
洛必达立绘
把导导拖到洛必达身上!
洛必达洛必达法则 · 本战主将
limx→0 ( ex − 1 ) / x
未 定 式
0/0
极 限 守 卫
Maltt 的 Q 版小头像
它核心里裹着的就是角色页那道题。先验型,再出手。
洛必达侯爵
让开些。未定式见了本侯爵,没有不现形的。

守卫的盾只认对的方法。盾面特征:0/0 未定式——分子分母同时趋于 0。派谁破盾?

守卫反击——它把解题步骤打乱了。拖动步骤卡排回正确顺序(也可以先点卡、再点空位)。

最后一击需要导数本身到场。把导导的人物卡拖到洛必达身上(或先点卡、再点洛必达)。

导导 Q 版 导导 导数 · 法则的根基 引路人特例 · 本战不受好感 ≥20 限制
limx→0 ex − 1x = e0 =
0/0

极限守卫 · 洛必达之战

角色页学过的法则,在这里第一次实战。守卫的核心题,正是演算台那道 limx→0 ex − 1x。
三段战法:破盾选人 → 接招排序 → 合体技收尾。选错人会弹回攻击、扣 1 格沉着;沉着归零,本场判负——但不惩罚,错题会记下来,还能先做变式热身再重打。

小替
攻击被弹回 —— 沉着 −1

变式热身 · 同一知识点

还是「0/0 型、先想方法」——这道更简单,做对就回战场重打。

limx→0 sin xx = ?
演武场 · 第一章混练
未开组
演武场 待开场
先选人,再做题
题目不标方法——判断该请谁,本身就是要练的功夫。
演 武 场
题目混编 · 不标方法
演武场一组五题,题目混在一起出,不按方法分类。先看清式子长什么样,再决定请谁上场——选错了不判死,被选错的人会点你一句,你可以换人接着做。
Maltt(同行者)
Maltt:我陪你练,只看不动手——选谁、怎么算,都是你的功夫。

演武场 · 第一章混练

这里没有固定路线,只有一桌混编的题。路线教你招,演武场练你认招。

  • 一组五题,从题库随机抽,不重复;题面只给式子,不标方法、不给分类提示。
  • 每题先过判断步:在方法栏选一位人物。选错不判死刑——被选错的人会上前试一步、按他的脾气点出这道题的长相特征,你换人接着做,但这一题记一次「判断错」。
  • 选对人再过解题步:手填最终值,或把步骤卡拖回正确顺序。填错、排错记「执行错」,有一次带提示的重试。
  • 结算时两笔账分开报:方法判断和执行正确率——是不会认招,还是认对了手糙,一眼分清。错题按层记入错题本。
  • 方法栏里没学过的招是灰的:泰勒在章末等你,拉格朗日他们更远。路线里多学一招,这里就多一个人。

学习台

我的复盘 · Maltt 主持

Maltt 站在学习台边
Maltt · 领航者

这儿就是你的学习台。上头三个页签:「总览」看三数,「错题本」按知识点收着你错过的题,「讲义」存着你在课堂上拿到的讲义卡。练变式还去演武场,我在那边等你。

三数总览

好感度 · 熟练度 · 段位——都记在你名下,一格不少。

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图鉴

全员名录 · 共十人

十个人都在这本册子里——立绘、定位、口头禅,还有你和每个人混到什么程度。还没解锁的人先置灰,条件写在卡上;点开任意一人,看他的大立绘、Q 版小人和台词选段。

小替 · 等价无穷小替换EQUIVALENT INFINITESIMALS
♥好感度 0
小替立绘
小替兑换铺
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夹逼双子 · 夹逼准则SQUEEZE THEOREM
♥好感度 0
夹逼双子立绘
夹逼双子收束走廊
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泰勒 · 泰勒公式TAYLOR EXPANSION · BOSS 前学招
♥好感度 0
泰勒立绘
泰勒章末 Boss
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导导 · 根基补讲FOUNDATIONS · HE STANDS ON THESE
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